碧蓝档案简单的一档线模型

考虑这样一个现实的问题:

碧蓝档案的总力战中，每个人每天有3次机会打总力战，而将每个人打出的分数(最高分)进行排序，前15000名可以获得最多的奖励. 第15000名的分数被称为一档线. 那么如何建模才可以在一定程度上给出一档线随时间变化这一过程.

由于随机过程如果考虑最最完善的情况的话，就会出现一个过程套另一个过程套另一个过程这样套娃的情况，导致只能依赖数据进行数值计算，与此文章的目的相悖.

(资料图)

故本文章考虑这样一个理想的模型:

首先，要求不论什么时间(包括上班时间睡眠时间)，都有稳定的玩家数量，一个人不打总力战就得有另一个人去打总力战，这样就可以认为打总力战是一个泊松过程，而且保证了泊松过程的强度恒定. 其次假定各位玩家的实力相当，且都打ins难度，这就意味着不同的人打完时，产生的分数独立且同分布. 第三是每人只打一次，这个假定意味着玩家不能覆盖自己的历史最高分.

现在开始分析:

首先，没有足够的证据证明成绩近似服从正态分布，所以在分析中我们考虑最一般的情况，设各位参与者的成绩服从分布的概率密度是，而分布函数是 . 然后设分数线为第个人的成绩.

由模型的假设，得到的分数的个数服从泊松分布

当时，有以下条件概率密度

这个就是引用了n-m+1次序统计量的概率密度函数

此时算出条件分布函数为

而当时，由于没有足够的样本，故可以认为m次序统计量为任意比可能的最低分还要小的数，因此

而根据全概率公式

得到第大的分数的分布函数，并且求导还可以得到概率密度

这便是分数线服从的分布函数，其中参数代表最多只能有多少人过线，参数是泊松分布的强度，参数是经过的时间. 虽然成绩个数有几率不足m个，使得P并非从0开始，但是随着时间增长，分数个数不足m的概率快速趋于0，对于较大的几乎无影响.

此公式用于预测的示例:

一个比赛，每个人只能参加一次，并得到一个分数，每位选手得分服从期望和标准差都为10的正态分布，参加人数服从强度为10的泊松分布，只有前10名可以获得奖品，预测时间为10时的分数线.